具有欧氏端流的流形上的 Riesz 变换与 $L^p$ 上同调

设 $M$ 为光滑黎曼流形，它是一个紧部分与有限个欧氏端流 $\RR^n \setminus B(0,R)$（对某 $R > 0$）的并，每个端流上携带标准度量。我们的主要结果是：若端流多于一个，则 $M$ 上的 Riesz 变换从 $L^p(M) \to L^p(M; T^*M)$ 对有 $1 < p < n$ 有界，而对 $p \geq n$ 无界。由已知结果可知，在此情形下 $M$ 上的 Riesz 变换对 $1 < p \leq 2$ 有界且对 $p > n$ 无界；该结果对 $2 < p \leq n$ 是新的。我们还给出了此类流形上的一些热核估计。随后我们考虑了对更一般流形类，Riesz 变换在 $L^p$（$p > 2$ 某值）中的有界性之推论。假设 $M$ 为 n 维完备流形，满足 Nash 不等式且测地球体积增长有 $O(r^n)$ 上界。我们证明，Riesz 变换在 $L^p$（$p > 2$ 某值）中的有界性蕴含一度上 $L^p$ 上同调的 Hodge-de Rham 解释，且从该度上的 $L^2$ 上同调到 $L^p$ 上同调的映射为单射。