一类非加倍流形上的 Riesz 变换

我们考虑一类流形 $\mathcal{M}$，它由有限个形如 $(\mathbb{R}^{n_i}, \delta) \times (\mathcal{M}_i, g)$ 的 $N$ 维黎曼流形连通和得到，其中 $\mathcal{M}_i$ 为紧流形，并赋予乘积度量。最令人感兴趣的情形是欧氏维数 $n_i$ 不全相等。这意味着末端具有不同的“渐近维数”，并蕴含黎曼流形 $\mathcal{M}$ 不是加倍空间。我们完整刻画了 $\mathcal{M}$ 上的 Riesz 变换作为 $L^p(\mathcal{M})$ 上有界算子的指数 $p$ 的范围。即在假设每个 $n_i$ 至少为 $3$ 的前提下，我们证明 Riesz 变换是弱 $(1,1)$ 型、对所有 $p \in (1, \min_i n_i)$ 在 $L^p$ 上连续，而在其他情形下无界。这推广了首位作者与 Carron 和 Coulhon 关于欧氏空间 $\mathbb{R}^{N}$ 多副本连通和这一加倍情形的结果，以及 Carron 关于连通和上 Riesz 变换的结果。