一类非加倍流形上的 Riesz 变换 II

我们考虑一类流形 $\mathcal{M}$，其由有限个形如 $(\mathbb{R}^{n_i}, \delta) \times (\mathcal{M}_i, g)$ 的 $N$ 维黎曼流形连通和得到，其中 $\mathcal{M}_i$ 为紧流形，并赋予乘积度量。最令人感兴趣的情形是欧氏维数 $n_i$ 不全相等。这意味着末端具有不同的“渐近维数”，并蕴含黎曼流形 $\mathcal{M}$ 不是加倍空间。在本系列的第一篇论文（由第一与第三作者完成）中，我们考虑了每个 $n_i$ 至少为 $3$ 的情形。在本文中，我们假设某个 $n_i$ 等于 $2$，这是一个特殊且尤为有趣的情形。我们的方法是构造低能预解式，并确定当能量趋于零时预解式核的渐近性。我们证明 $\mathcal{M}$ 上的预解式核 $(\Delta + k^2)^{-1}$ 在 $k \to 0$ 时具有按 $1/\log (1/k)$ 幂次展开的形式，这与所有 $n_i$ 至少为 $3$ 的情形显著不同，后者按 $k$ 的幂次展开。我们将 Riesz 变换用预解式表示，证明其于 $L^p(\mathcal{M})$ 上在 $1 < p \leq 2$ 时有界，而在所有 $p > 2$ 时无界。