黎曼流形上里斯变换的反向不等式

设$M$为满足测地球双倍体积条件、且在适当远端球上对某些$q<2$满足$L^q$尺度庞加莱不等式的完备黎曼流形。我们证明了不等式$\left\Vert \Delta^{1/2}f\right\Vert_p\lesssim \left\Vert \nabla f\right\Vert_p$对所有$p\in (q,2]$成立，推广了Auscher与Coulhon的先前结果。特别地，当$M$具有有限个欧氏端时我们的结论适用。证明强烈依赖于哈代不等式，后者在此背景下亦是新的且具独立意义。本工作的第二部分处理分形类缆线系统中的类似问题。在此框架下，Chen、Coulhon、Feneuil及第二作者已证明：在Vicsek缆线系统中，不等式$\left\Vert \Delta^{1/2}f\right\Vert_p\lesssim \left\Vert \nabla f\right\Vert_p$对所有$p\in [1,2)$可能不成立。遵循两位作者与Yang最近的联合工作，我们考察形如$\left\Vert \Delta^{\gamma}e^{-\Delta}f\right\Vert_p\lesssim \left\Vert \nabla f\right\Vert_p$的不等式的有效性。在Vicsek情形中，我们给出了该不等式成立的最优$p$范围。