Vicsek 缆线系统上准-Riesz 变换的逆不等式

本工作致力于研究某些类分形缆线系统中的所谓“逆 Riesz”不等式及其合适变体。L. Chen、T. Coulhon、J. Feneuil 和第二作者已经证明，在 Vicsek 缆线系统中，不等式 $\left\Vert \Delta^{1/2}f\right\Vert_p\lesssim \left\Vert \nabla f\right\Vert_p$ 对所有 $p\in [1,2)$ 均为假。跟随第二篇联合论文，本文考察“逆准-Riesz”不等式，即形式为 $\left\Vert \Delta^{\gamma}e^{-\Delta}f\right\Vert_p\lesssim \left\Vert \nabla f\right\Vert_p$，在（不可约的）Vicsek 缆线系统中，对 $p\in (1,+\infty)$ 且 $\gamma>0$。这些逆不等式与 $L^p$ 有界性问题密切相关，后者涉及算子 $\nabla e^{-\Delta}\Delta^{-\varepsilon}$，即所谓的“准-Riesz 变换”（无穷处），由 L. Chen 在其博士论文中引入。我们的主要结果是几乎完整地刻画了在 Vicsek 缆线系统中，逆准-Riesz 不等式成立的 $\gamma\in (0,1)$ 和 $p\in (1,+\infty)$ 的集合。探讨其他缆线系统或由这些构成的流形上逆准-Riesz 不等式仍是开放问题。