指数和与乘性系数的 $L^1$ 均值. II

设 $f$ 为实值且 $|f(n)| \leq 1$ 的乘性函数。假设 $f^{2}$ 的平均值存在，且 $$\int_{0}^{1} \Big | \sum_{n \leq N} f(n)e^{2\pi i n \alpha} \Big | d \alpha\leq N^{o(1)}$$ 当 $N \rightarrow \infty$ 时，则存在二次迹文 $\chi$，使得对每个 $\delta > 0$，素数 $p \leq N$ 中 $|f(p) - \chi(p)| < \delta$ 的（对数）比例随 $N \rightarrow \infty$ 趋于 1。更一般地，我们证明对于所有 $N, \Delta \geq 1$ 和 1 有界乘性函数 $f$，若 $$\int_{0}^{1} \Big | \sum_{n \leq N} f(n) e^{2\pi i n \alpha} \Big | d \alpha \leq \Delta$$ 且 $f$ 在区间 $[1, N]$ 上的 $L^{2}$ 范数 $\geq N / 100$，则 $f$ 在区间 $[\Delta^{2}, N]$ 内的素数上类似于导数 $\leq \Delta^{2}$ 的乘性字符。我们指出该结果对 $f$、$N$ 和 $\Delta$ 均为均匀的，并且在导数大小方面具有尖锐性。此外，限制到素数 $p \in [\Delta^{2}, N]$ 在此类结果的合理推广版本中是尖锐的，该推广版本涉及一类在乘性函数附近取 1% 时间的序列 $f$。