具乘性系数的指数和的 $L^1$ 均值. I

我们证明了长度为 $X$、系数等于 Liouville 函数或 M"{o}bius 函数的指数和的 $L^1$ 范数对任意给定的 $\varepsilon$ 至少为 $\gg_{\varepsilon} X^{1/4 - \varepsilon}$。对于 Liouville 函数，这改进了 Balog 与 Perelli (1998) 给出的下界 $\gg X^{c/\log\log X}$。对于 M"{o}bius 函数，这改进了 Balog 与 Ruzsa (2001) 给出的下界 $\gg X^{1/6}$。这些下界之间的巨大差异源于 Balog 与 Ruzsa 所采用的方法，因其关键依赖于 $\mu(n)$ 的消失性。相反，我们的证明通过利用这些系数与 Dirichlet $L$-函数的零点之间的联系，使两种情形处于同等地位。在本系列的第二篇论文中，我们将对一般的（非伪装的）乘性函数得到下界 $\gg X^{\delta}$，其中 $\delta$ 为某个小的常数。