Chowla 猜想的一种平均形式

设 $\lambda$ 表示 Liouville 函数。Chowla 的一个著名猜想断言，对于任意不同的自然数 $h_1,\dots,h_k$，当 $X \to \infty$ 时有 $\sum_{1 \leq n \leq X} \lambda(n+h_1) \dotsm \lambda(n+h_k) = o(X)$。对于任何 $k \geq 2$ 的 $h_1,\dots,h_k$，该猜想仍未得到证明。在本文中，利用前两位作者关于短区间内乘性函数均值最近的结果，结合 Katai 和 Bourgain-Sarnak-Ziegler 的论证，我们建立了该猜想的一个平均形式，即当 $H = H(X) \leq X$ 随 $X \to \infty$ 趋于无穷且 $k$ 固定时，随着 $X \to \infty$ 有 $$\sum_{h_1,\dots,h_k \leq H} \left|\sum_{1 \leq n \leq X} \lambda(n+h_1) \dotsm \lambda(n+h_k)\right| = o(H^kX)$$。与此相关，我们给出了指数和估计 $$\int_0^X \left|\sum_{x \leq n \leq x+H} \lambda(n) e(\alpha n)\right| dx = o( HX )$$ 当 $X \to \infty$ 时对所有 $\alpha \in \mathbb{R}$ 一致成立，其中 $H$ 如前所述。我们的论证实际上给出了衰减速率的定量界（大致为 $\frac{\log\log H}{\log H}$ 量级），并推广到比 Liouville 函数更一般的有界乘性函数，从而得出了 Elliott 猜想（修正版）的一种平均形式。