对数平均的乔拉猜想与萨尔纳克猜想的等价性

设 $\lambda$ 表示刘维尔函数。乔拉猜想断言，对于任意固定的自然数 $a_1,a_2,\dots,a_k$ 和非负整数 $b_1,b_2,\dots,b_k$，满足对所有 $1 \leq i < j \leq k$ 有 $a_ib_j-a_jb_i \neq 0$，以及任意 $X \geq 1$，有 $$\sum_{n \leq X} \lambda(a_1 n + b_1) \lambda(a_2 n+b_2) \dots \lambda(a_k n + b_k) = o_{X \to \infty}(X)$$ 该猜想对于 $k \geq 2$ 仍未解决。众所周知，该猜想蕴含萨尔纳克猜想：当 $f : {\bf N} \to {\bf C}$ 为固定的确定性序列且 $X \geq 1$ 时，$$\sum_{n \leq X} \lambda(n) f(n) = o_{X \to \infty}(X)$$ 本文考虑这些猜想的较弱的对数平均版本，即在关于 $a_1,\dots,a_k,b_1,\dots,b_k$ 和 $f$ 的相同假设下，且对于任意 $2 \leq \omega \leq X$，有 $$\sum_{X/\omega \leq n \leq X} \frac{\lambda(a_1 n + b_1) \lambda(a_2 n+b_2) \dots \lambda(a_k n + b_k)}{n} = o_{\omega \to \infty}(\log \omega)$$ 以及 $$\sum_{X/\omega \leq n \leq X} \frac{\lambda(n) f(n)}{n} = o_{\omega \to \infty}(\log \omega)$$ 我们的主要结果是，后两个猜想彼此逻辑等价，并且等价于刘维尔函数的“局部 Gowers 一致性”。这里使用的主要工具是作者最近用于建立对数平均乔拉猜想 $k=2$ 情形的熵递减论证，以及由 Green、Ziegler 和作者得到的 Gowers 范数反猜想。