关于涉及 Maass 尖形式傅里叶系数的一些估计

设 $f$ 为 $\rm SL_2(\mathbb{Z})$ 的 Hecke-Maass 尖形式，其 Laplace 特征值 $\lambda_f(\Delta)=1/4+\mu^2$，$\lambda_f(n)$ 为其第 $n$ 个归一化傅里叶系数。证明了在 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 上一致地，$$\sum_{n \leq X}\lambda_f(n)e\left(\alpha n^2+\beta n\right) \ll X^{7/8+\varepsilon}\lambda_f(\Delta)^{1/2+\varepsilon},$$ 其中隐含常数仅依赖于 $\varepsilon$。我们还考虑了 $\lambda_f(n)$ 的求和函数，并在 Ramanujan 猜想下能够证明 $$\sum_{n \leq X}\lambda_f(n)\ll X^{1/3+\varepsilon}\lambda_f(\Delta)^{4/9+\varepsilon}$$ 其中隐含常数仅依赖于 $\varepsilon$。