更高对称幂 L 函数及其傅里叶系数

设 $H_k$ 为重数权 $k\geq 2$ 的全模群 $SL(2, \mathbb{Z})$ 上规范化原始纤维模形式的集合，设 $j\geq 3$ 为任意固定整数。对于 $f\in H_k$，记 $\lambda_{{\rm{sym}^j }f}(n)$ 为 $L(s,{\rm{sym}}^j f)$ 的第 $n$ 个规范化傅里叶系数。本文建立了下列和的渐近公式：$$\begin{equation} \sum_{\substack{n=a_1^2+a_2^2+\ldots+a_6^2\leq x\\ \left(a_1,a_2,\ldots, a_6\right)\in \mathbb{Z}^6}} \lambda_{{\rm{sym}}^j f}^2(n), \end{equation}$$ 并给出改进的误差项。