关于 $GL(3)\times GL(2)$ 在加权集合上平均的移位卷积和

设 $A(1,m)$ 为 $SL(3,\mathbb{Z})$ Hecke-Maass 尖形式 $\pi_1$ 的傅里叶系数，$\lambda(m)$ 为 $SL(2,\mathbb{Z})$ Hecke 全纯或 Hecke-Maass 尖形式 $\pi_2$ 的傅里叶系数。设 $H\subset[\![ -X^{1-\varepsilon},X^{1+\varepsilon}]\!]$ 且 $\{a(h)\}_{h\in H}\subset\mathbb{C}$ 为一个序列。我们证明若对某个 $\ell\geq0$ 有 $H\subset \ell+[\![ 0,X^{1/2+\varepsilon}]\!]$，则对任意 $\varepsilon>0$，\begin{align*} D_{a,H}(X):=\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}a(h)\sum_{m=1}^\infty A(1,m)\lambda(rm+h)V\left(\frac{m}{X}\right)\ll_{\pi_1,\pi_2,\varepsilon} \frac{X^{1+\varepsilon}}{|H|}\|a\|_2 \end{align*} 且当 $|H|$ 较大时有类似上界。这改进了 Sun 的上界并将其推广到带任意权重的均值。此外，我们展示了如何通过研究带加权平均的移位和来恢复由 Jutila 圆法给出的可因子化模结构。这使我们无需使用 Jutila 圆法即可恢复 Munshi 关于固定移位的移位和的上界。