$\rm GL_3\times \rm GL_2$ 自守形式的解析扭曲

设 $\pi$ 为 $\rm SL_3(\mathbb{Z})$ 的 Hecke--Maass 尖形式,具有归一化 Hecke 特征值 $\lambda_{\pi}(n,r)$。设 $f$ 为 $\rm SL_2(\mathbb{Z})$ 的全纯或 Maass 尖形式,具有归一化 Hecke 特征值 $\lambda_f(n)$。本文关注对和式 \begin{equation*} \sum_{r,n\geq 1}\lambda_{\pi}(n,r)\lambda_f(n)e\left(t\,\varphi(r^2n/N)\right)V\left(r^2n/N\right), \end{equation*} 获得非平凡估计,其中 $e(x)=e^{2\pi ix}$, $V(x)\in \mathcal{C}_c^{\infty}(0,\infty)$, $t\geq 1$ 为大参数且 $\varphi(x)$ 为某实值光滑函数。作为应用,我们给出了 $\rm GL_3\times \rm GL_2$ $L$-函数在 $t$ 方向上的改进次凸界,并且在 Ramanujan--Petersson 猜想下,我们导出如下 $\rm GL_3\times \rm GL_2$ Fourier 系数之和的界 \begin{equation*} \sum_{r^2n\leq x}\lambda_{\pi}(r,n)\lambda_f(n)\ll_{\pi, f, \varepsilon} x^{5/7-1/364+\varepsilon} \end{equation*} 对任意 $\varepsilon>0$ 成立,这首次突破了 Friedlander--Iwaniec 工作中 $O(x^{5/7+\varepsilon})$ 的壁垒。