高斯数域上 GL_3 上扭曲 L-函数的次凸性

设 $q \in \mathbb{Z} [i]$ 为素数，$\chi$ 为模 $q$ 的本原二次 Hecke 特征标。设 $\pi$ 为 $\mathrm{SL}_3 (\mathbb{Z} [i] )$ 的自对偶 Hecke 自守尖形式，$f$ 为 $\Gamma_0 (q) \subset \mathrm{SL}_2 (\mathbb{Z} [i])$ 的 Hecke 尖形式。考虑 $\mathrm{GL}_3 \times \mathrm{GL}_2$ 与 $\mathrm{GL}_3$ 上的扭曲 $L$-函数 $L (s, \pi \otimes f \otimes \chi)$ 与 $L (s, \pi \otimes \chi)$。我们证明了对任意 $\varepsilon > 0$ 的次凸界 \begin{equation*} L \big(\tfrac 1 2, \pi \otimes f \otimes \chi \big) \ll_{\, \varepsilon, \pi, f } \mathrm{N} (q)^{5/4 + \varepsilon}, L \big(\tfrac 1 2 + it, \pi \otimes \chi \big) \ll_{\, \varepsilon, \pi, t } \mathrm{N} (q)^{5/8 + \varepsilon}, \end{equation*}。