$GL(1)$ 扭掉的 Rankin-Selberg $L$-函数的次凸性

设 $f$ 与 $g$ 为 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的两个全纯或 Hecke-Maass 原始尖形式,$\chi$ 为模 $p$(奇素数)的原 Dirichlet 特征。对 Rankin-Selberg $L$-函数 $L(s, f \otimes g \otimes \chi)$ 中心值的次凸界由下式给出:$$L(\frac{1}{2}, f \otimes g \otimes \chi) \ll_{f,g,\epsilon}p^{\frac{27}{28}+\epsilon} ,$$ 对任意 $\epsilon > 0$ 成立,其中隐含常数仅依赖于形式 $f,g$ 与 $\epsilon$。此处凸性界的指数为 $1+\epsilon$,曾被改进至 $1-\frac{1}{1324}$(见 \cite{HM})。我们的界将其进一步降至 $1- \frac{1}{28}$。主要方法是将原问题化为一个 $GL(2) \times GL(2)$ 移位卷积和问题。