$GL(3)\times GL(2)$ 扭元的次凸性（含 Will Sawin 的附录）

设 $\pi$ 为 $SL(3,\mathbb{Z})$ Hecke-Maass 尖形式，$f$ 为 $SL(2,\mathbb{Z})$ 全纯尖形式或 Maass 尖形式，$\chi$ 为模 $p$ 的任意非平凡特征，其中 $p$ 为素数。我们证明与此三元组关联的 $L$-函数满足 \begin{equation*} L\left(\frac{1}{2},\pi\times f\times\chi\right)\ll_{\pi,f,\epsilon} p^{\frac{3}{2}-\frac{1}{16}+\epsilon}. \end{equation*} 该方法也给出次凸界 \begin{equation*} L\left(\frac{1}{2},\pi\otimes \chi\right)\ll_{\pi,\epsilon }p^{\frac{3}{4}-\frac{1}{32}+\epsilon }. \end{equation*}