GL_2×GL_2 自守形式的解析扭曲

设 $f$ 和 $g$ 为 $\rm SL_2(\mathbb{Z})$ 的全纯或 Maass 尖形式，其归一化傅里叶系数分别为 $\lambda_f(n)$ 和 $\lambda_g(n)$。本文中，我们证明了对和式 $$\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_f(n) \lambda_g(n)e\left(t \varphi\left(\frac{n}{X}\right)\right)V\left(\frac{n}{X}\right)$$ 的非平凡估计，其中 $e(x)=e^{2\pi ix}$，$V(x)\in \mathcal{C}_c^{\infty}(1,2)$，$t\geq 1$ 为大参数，$\varphi(x)$ 为某个非线性实值光滑函数。这些估计的应用包括 Rankin-Selberg $L$-函数 $L(s,f\otimes g)$ 在 $t$ 方面的次凸界、非线性指数扭曲和式的改进估计，以及下列某 $\rm{GL}_5$ Eisenstein 级数傅里叶系数和式的渐近公式 $$\sum_{n \leq X}\lambda_{1\boxplus(f\times g)}(n) =L(1,f\times g)X + O(X^{\frac{2}{3}-\frac{1}{356}+\varepsilon})$$ 对任意 $\varepsilon>0$ 成立。