移位卷积问题的积分表示及 $\operatorname{GL}_n$ 自守 $L$-函数的次凸性估计

固定整数 $n \geq 2$，$F$ 为一个全实数域。我们将 $\operatorname{GL}_n({\bf{A}}_F)$ 自守形式的 $L$-函数系数的移位卷积问题归约到更易理解的 $\operatorname{GL}_2({\bf{A}}_F)$ 情形。这一归约背后的关键思想是使用经典投影算子 $\mathbb P^n_1 \varphi$ 及其 Fourier-Whittaker 展开的性质。这使我们能够为移位卷积问题推导出新奇的积分表示，作为 $\operatorname{GL}_2({\bf{A}}_F)$ 的 mirabolic 子群 $P_2({\bf{A}}_F)$ 或其二重亚辛覆盖 $\overline{P}_2({\bf{A}}_F)$ 上某些 $L^2$-自守形式的 Fourier-Whittaker 系数。随后我们构造这些 mirabolic 形式到 $\operatorname{GL}_2({\bf{A}}_F)$ 及其二重亚辛覆盖 $\overline{G}({\bf{A}}_F)$ 的提升，以证明将底层形式展开为 Poincar\'e 级数的线性组合是合理的。将每个 Poincar\'e 级数进行谱分解，使我们能够为 $n \geq 3$ 维的移位卷积问题推导全新的界。作为一个应用，我们推导了被 Hecke 特征标扭曲的 $\operatorname{GL}_n({\bf{A}}_F)$-自守 $L$-函数的统一次凸性界。这种统一水平方面的次凸性估计似乎是 $n \geq 3$ 维中的首个此类结果。