GL_1 上的若干 Fourier 算子及其相伴的 Poisson 求和公式

在本文中，我们探索利用 GL_1 上的调和分析来理解一般 Langlands 自守 L-函数的可能性，作为 J. Tate 开创性工作的巨大推广。对于数域 k 上的分裂约化群 G，令 G^∨(ℂ) 为其复对偶群，ρ 为 G^∨(ℂ) 的一个 n 维复表示。对于任意 G(𝔸) 的不可约尖点自守表示 σ（其中 𝔸 为 k 的 adele 环），我们引入 𝔸^× 上 (σ,ρ)-Schwartz 函数空间 𝒞𝒮_{σ,ρ}(𝔸^×) 以及将 𝒞𝒮_{σ,ρ}(𝔸^×) 映到 𝒞𝒮_{σ~,ρ}(𝔸^×) 的 (σ,ρ)-Fourier 算子 ℱ_{σ,ρ,ψ}，其中 σ~ 为 σ 的对偶表示。在假设 (G,ρ) 的局部 Langlands 函子性下，我们证明 (σ,ρ)-theta 函数 [ Θ_{σ,ρ}(x,φ):=∑_{α∈k^×} φ(α x) ] 对所有 φ∈𝒞𝒮_{σ,ρ}(𝔸^×) 绝对收敛，并陈述 GL_1 上 (σ,ρ)-Poisson 求和公式的猜想。随后我们证明了当 G=GL_n 且 ρ 为 GL_n(ℂ) 的标准表示时的猜想。证明大量使用了 GL_n 标准 L-函数的 Godement-Jacquet 局部理论以及仿射空间上经典 Fourier 变换的 Poisson 求和公式。作为一个应用，我们对任意 GL_n(𝔸) 的不可约尖点自守表示 π 与 k 的 idele 类特征 χ，给出了标准 L-函数 L(s,π×χ) 临界零点的谱解释，这是对 A. Connes 工作的 adelic 框架重述，并将 Hecke L-函数 L(s,χ) 推广到自守 L-函数 L(s,π×χ)。