GL_n 的 Voronoi 求和公式与 Godement-Jacquet 核

设 $\mathbb{A}$ 为一个数域 $k$ 的 adele 环，$\pi$ 为 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A})$ 的一个不可约尖形式自守表示。在第一作者与 Zhilin Luo 的先前工作中，他们引入了 $\pi$-Schwartz 空间 $\mathcal{S}_\pi(\mathbb{A}^\times)$ 与 $\pi$-Fourier 变换 $\mathcal{F}_{\pi,\psi}$（其中 $\psi$ 为 $k\backslash\mathbb{A}$ 的一个非平凡加性特征），基于标准 $L$-函数 $L(s,\pi)$ 的 Godement-Jacquet 理论证明了 $\mathbb{A}^\times$ 上的相应 Poisson 求和公式，并给出了有趣的应用。本文除进一步发展局部理论外，找到了两个整体应用。首先，我们给出了数域上 $\mathrm{GL}_n$ 的 Voronoi 求和公式的一个 Poisson 求和公式证明，该公式最初由 A. Ichino 与 N. Templier 证明。随后我们引入 Godement-Jacquet 核 $H_{\pi,s}$ 及其对偶核 $K_{\pi,s}$ 的概念，对任意不可约尖形式自守表示 $\pi$ 的 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A})$ 成立，并证明 $H_{\pi,s}$ 与 $K_{\pi,1-s}$ 通过非线性 $\pi_\infty$-Fourier 变换相关联当且仅当 $s\in\mathbb{C}$ 是标准自守 $L$-函数 $L(s,\pi)$ 的有限部分 $L_f(s,\pi_f)=0$ 的零点，这是 Clozel 定理的 $(\mathrm{GL}_n,\pi)$-版本，其中考虑了 $n=1$ 且 $\pi$ 为平凡特征的 Tate 核。