自守形式所attach的Dirichlet级数系数的振荡

对于 $m\ge 2$，令 $\pi$ 为 $GL_m(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ 的具有酉中心特征的不可约尖点自守表示。令 $a_\pi(n)$ 为 $\pi$ 所attach的 $L$-函数的第 $n$ 个系数。Goldfeld 与 Sengupta 近来给出了当 $x \rightarrow \infty$ 时 $\sum_{n\le x} a_\pi(n)$ 的一个界。对于 $m\ge 3$ 且 $\pi$ 不是具有并非所有有限素数为非分歧的 $GL_2(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$-尖点自守表示的对称幂的 $\pi$，他们的界优于所有先前的界。本文中，我们进一步改进 Goldfeld 与 Sengupta 的界。我们还证明了在某些自守 $L$-函数系数为实数时，其系数变号次数的一个定量结果。