极小型 $GL(2)$ 自守形式的若干解析方面

设 $\pi$ 为 $PGL_2(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 的一个尖点自守表示，其算术导子为 $C$，Archimedean参数为 $T$，并设 $\phi$ 为 $\pi$ 的空间中一个 $L^2$-归一化的自守形式。上确界范数问题要求给出 $\| \phi \|_\infty$ 关于 $C$ 和 $T$ 的界。量子唯一遍历性 (QUE) 问题关注 $\phi$ 的 $L^2$-质量 $|\phi|^2 (g) \, d g$ 的极限行为。先前所有在导子方面对这些问题的研究都集中在 $\phi$ 为新向量形式的情况。在本工作中，我们针对一类非新向量形式的自守形式研究这些问题。具体而言，我们假设对于 $C$ 的每个素因子 $p$，局部成分 $\pi_p$ 是超尖点的（并满足一些附加的技术假设），并考虑其局部成分 $\phi_p \in \pi_p$ 为“极小”向量的自守形式 $\phi$。此类向量可以理解为 $PGL_2(\mathbb{R})$ 全纯离散序列表示中最低权向量的非Archimedean类似物。对于上述自守形式，我们证明了一个比新向量形式已知结果更锐利的上确界范数界。特别地，如果 $\pi_\infty$ 是最低权为 $k$ 的全纯离散序列，我们得到了最优界 $C^{1/8 -\epsilon} k^{1/4 - \epsilon} \ll_{\epsilon} |\phi|_\infty \ll_{\epsilon} C^{1/8 + \epsilon} k^{1/4+\epsilon}$。我们还证明了这些形式给出了 QUE 周期的解析测试向量，从而证明了该类向量的强 QUE 问题与次凸性问题之间的等价性。这一发现与已知的该等价性在强水平新向量形式中失效的情况形成了对比。