指定局部组成家族的 $L$ -函数的三次矩

我们在给定 $\operatorname{PGL}_2/\mathbb{Q}$ 自变表示 $\pi$ 的局部表示 $\pi_p$ 在有限多个素数处所指定的情况下，对其中心值 $L$ -函数的三次矩进行 Lindel"of 平均上界。之前已知当 $\pi_p$ 属于主序列或是 $\operatorname{Steinberg}$ 表示的阻性二次扭转时，这类上界成立；本文处理了超级离散情况。关键地，我们使用作者最近开发用于超级离散局部组成家族的新的 Petersson/Bruggeman-Kuznetsov 公式。作为推论，我们推导了在平方满数情形下、深度情形下，或这两种情况的混合情形下，$\operatorname{PGL}_2$ $L$ -函数中心值的 Weyl 强次下界。我们的一个特殊情况是所有水平为 $p^2$ 的 cusp 形式的 Weyl 次下界。此前，这种下界仅已知针对水平为 $p$ 的形式，大约覆盖了水平 $p^2$ 形式的一半。