GL(2) 的强重数一定理的改进

对于数域 $F$ 上 $\mathrm{GL}(2)$ 的两个不同的酉尖形式自守表示 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 以及任意 $\alpha\in\Bbb{R}$，令 $\mathcal{S}_{\alpha}$ 为 $F$ 的满足 $\lambda_{\pi_1}(v)\neq e^{i\alpha} \lambda_{\pi_2}(v)$ 的素点 $v$ 的集合，其中 $\lambda_{\pi_i}(v)$ 为 $\pi_i$ 在 $v$ 处的傅里叶系数。本文中，我们证明 $\mathcal{S}_\alpha$ 的下 Dirichlet 密度至少为 $\frac{1}{16}$。此外，若 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 非扭曲等价，我们证明 $\mathcal{S}_\alpha$ 与 $\cap_\alpha\mathcal{S}_\alpha$ 的下 Dirichlet 密度分别至少为 $\frac{2}{13}$ 与 $\frac{1}{11}$。进一步，对于非扭曲等价的 $\pi_1$ 与 $\pi_2$，若每个 $\pi_i$ 对应于权 $k_i\ge 2$ 且具平凡余类型的非 CM 新形式，我们得到满足 $\lambda_{\pi_1}(p)^2 = \lambda_{\pi_2}(p)^2$ 的素数 $p\le x$ 个数的各种上界。这些结果改进了 Murty-Pujahari、Murty-Rajan、Ramakrishnan 和 Walji 的工作。