被 Galois 对合区分的 ${\rm GL}_n(F)$ 的超尖表示

设 $F/F_0$ 为剩余特征 $p\neq2$ 的非阿基米德局部紧域的二次扩张，$\sigma$ 表示其非平凡自同构。设 $R$ 为区别于 $p$ 的特征的代数闭域。对任意 ${\rm GL}_n(F)$ 的系数为 $R$ 的尖表示 $\pi$，满足 $\pi^{\sigma}\simeq\pi^{\vee}$（称此类表示为 $\sigma$-自对偶），我们联系一个二次扩张 $D/D_0$，其中 $D$ 为 $F$ 的驯顺分歧扩张，$D_0$ 为 $F_0$ 的驯顺分歧扩张，以及一个 $D_0^{\times}$ 的二次特征。当 $\pi$ 为超尖时，就这些数据给出 $\pi$ 为 ${\rm GL}_n(F_0)$-区分的必要充分条件。当 $R$ 的特征 $\ell$ 不为 $2$ 时，以 $\omega$ 记 $F_0^{\times}$ 的平凡于 $F/F_0$-范数的非平凡 $R$-特征，我们证明任意 $\sigma$-自对偶超尖 $R$-表示要么被区分，要么被 $\omega$-区分，但不兼具二者。在模情形即 $\ell>0$ 时，我们给出既不被区分也不被 $\omega$-区分的 $\sigma$-自对偶非超尖尖表示的例子。在 $R$ 为复数域这一特例中（此时所有尖表示皆为超尖），这给出了任意复尖表示的完整区分判据，以及 Kable 与 Anandavardhanan-Kable-Tandon 的二分与互斥定理在尖表示情形下的纯局部证明。