$L$-函数的商：$n$ 与 $n-2$ 次

如果 $L(s,\pi)$ 和 $L(s,\rho)$ 分别是附属于 ${\rm GL}_n({\mathbb A}_{\mathbb Q})$ 和 ${\rm GL}_{n-2}({\mathbb A}_{\mathbb Q})$ 的尖点自守表示 $\pi$ 和 $\rho$ 的 Dirichlet 级数，我们证明 $F_2(s)=L(s,\pi)/L(s,\rho)$ 有无穷多个极点。我们还对 Artin $L$-函数及其他尚未被证明是自守的 $L$-函数建立了类似结果。利用 \cite{Ragh20} 和 \cite{BaRa20} 的分类定理，我们证明了 ${\rm GL}_3({\mathbb A}_{\mathbb Q})$ 的尖点 $L$-函数在 ${\mathfrak G}$ 中是本原的，其中 ${\mathfrak G}$ 是一个包含 Selberg 类 ${\mathcal{S}}$ 以及所有 ${\rm GL}_n({\mathbb A}_{\mathbb Q})$ 的酉尖点自守表示 $\sigma$ 的 $L(s,\sigma)$ 的幺半群。