限制在指数为 2 的子域上的 Eisenstein 级数的尖点部分

设 $\mathbb{E}$ 为数域 $\mathbb{F}$ 的二次扩张。设 $E(g, s)$ 为 $GL_2(\mathbb{E})$ 上的 Eisenstein 级数，$F$ 为 $GL_2(\mathbb{F})$ 上的尖点自守形式。本文考虑如下自守积分：$$\int_{Z_{A}GL_{2}(\mathbb{F})\backslash GL_{2}(\mathbb{A}_{\mathbb{F}})} F(g)E(g,s) dg.$$ 在某种意义上，这是著名的 Rankin-Selberg 积分和三乘积公式的互补情形。我们将通过 Waldspurger 公式来研究该积分。我们将讨论该积分何时自动为零，以及否则它所代表的 L-函数。我们将计算某些分歧点处的局部积分，其中分歧的层数可以是任意大的。