自伴 L 函数导数中的多项式零点

设 $\mathfrak{F}_m$ 为所有 cuspidal autoporphic representations of $\mathrm{GL}_m(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ 的集合，设 $F(s,\boldsymbol{\pi})$ 为关于 $\pi_u \in \cup_{m=1}^{\infty} \mathfrak{F}_m$ 关联的 $L$ 函数导数的多项式。我们给出该函数在 $0 < \operatorname{Im}(s) < T$ 区间非平凡零点的数量的渐近公式。我们明确给出该公式主项表达式，依据各分量 $L$ 函数的次数、秩、算术导数及微分阶数。进一步表明，在特定条件下，该函数的 nearly all 非平凡零点均位于临界线 $\operatorname{Re}(s)=1/2$ 附近。