由 PGL_2 与 SL_2 的对称平方表示导出的傅里叶变换

设 $G$ 为 $\overline{\mathbb{F}}_q$ 上的连通约化群，设 $\rho^\vee:G^\vee\rightarrow GL_n$ 为对偶群 $G^\vee$ 的代数表示。假设 $G$ 与 $\rho^\vee$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上定义，Braverman 与 Kazhdan 在 $G(\mathbb{F}_q)$ 上复值函数空间 $\mathcal{C}(G(\mathbb{F}_q))$ 上定义了一个算子。本文关注 $G$ 为 $SL_2$ 或 $PGL_2$ 且 $\rho^\vee$ 为 $G^\vee$ 的对称平方表示的情形。我们构造了一个自然的 $G\times G$-等变嵌入 $G\hookrightarrow\mathcal{G}=\mathcal{G}_\rho$，以及函数空间 $\mathcal{C}(\mathcal{G}(\mathbb{F}_q))$ 上的一个对合算子（傅里叶变换）$\mathcal{F}^{\mathcal{G}}$，它推广了 Braverman-Kazhdan 的算子。