广义傅里叶变换与Dunkl算子光滑类比

我们引入一种关于 $\mathbb{R}^N$ 上傅里叶变换的扭曲，源于与 $\widetilde{SL}(2,\mathbb{R}) \times O(N)$ 相关的表示论构造，仍然保留底层一级算子结构。更具体地，我们构造广义傅里叶变换 $\mathcal{F}_b$、拉普拉斯算子 $\Delta$ 的非局部扭曲 $H_b$，以及扭曲偏导数 $\frac{\partial}{\partial x_n}$ 的算子 $D_{b,n}$。我们证明算子 $D_{b,n}$ 与 $x_n$ 能够以与经典情况类似的方式与 $\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})$ 表示兼容：对于每个 $n$，由 $x_n$ 与 $D_{b,n}$ 张成的空间承载标准表示；特别是，广义傅里叶变换 $\mathcal{F}_b$ 交换 $D_{b,n}$ 与 $x_n$，且从这些算子的二次表达式中恢复 $\mathfrak{sl}_2$ 的三分量。我们还建立了 $\mathcal{F}_b$ 的逆公式，给出 $\mathcal{F}_b$ 与 $D_{b,n}$ 的显式公式。具体而言，$\mathcal{F}_b$ 具有显式积分核表示，$D_{b,n}$ 表示为微分项与球面积分项之和。我们的构造可视为Dunkl理论的连续类比，其中 $O(N)$ 充当反射群角色。