关于 $\left(k,\frac{2}{n}\right)-$型广义傅里叶变换的 Schwartz 空间

Schwartz空间 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ 在广义傅里叶变换 $\mathcal{F}_{k,a}$ 下除非 $a=2$ 否则不具不变性，而且一般不存在此类适配空间。对于 $N=1$ 且 $a=\frac{2}{n}$, $n\in\mathbb{N}$，我们构造了一个特定的 Schwartz 类型空间 $\mathcal{S}_{k,n}(\mathbb{R})$，通过内置于一维 Dunkl 拉普拉斯算子 $\Delta_k$ 相关的自然二阶算子所构成的 seminorms 定义。我们证明 $\mathcal{S}_{k,n}(\mathbb{R})$ 恢复了经典 Schwartz 空间的两个基本特征：在相应傅里叶型算子下的不变性以及在相关加权 $L^p$ 空间中的稠密性。为建立这些结果，我们引入空间 $\mathcal{D}_{k,n}(\mathbb{R})$，其由紧支撑光滑函数组成，在 $\mathcal{S}_{k,n}(\mathbb{R})$ 中嵌入且稠密于加权空间 $L^p(d\mu_{k,n})$, $1\le p<\infty$。这些结果为 $\mathcal{F}_{k,a}$ 提供了第一个同时确保不变性与 $L^p$-稠密性、并采用 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$-基于描述 underlying operator structure 的 Schwartz 类型空间。