关于 $(\kappa,a)$-广义 Fourier 变换的核

对于 $(\kappa,a)$-广义 Fourier 变换 $\mathcal{F}_{\kappa,a}$ 的核 $B_{\kappa,a}(x,y)$，其在带权 $|x|^{a-2}v_{\kappa}(x)$ 的 $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ 中作用，其中 $v_{\kappa}$ 为 Dunkl 权，我们研究 $\|B_{\kappa,a}\|_{\infty}=B_{\kappa,a}(0,0)=1$ 何时成立这一重要问题。对于 $d\ge 2$ 且 $\frac{2}{a}\in\mathbb{N}$ 的情形已知答案为肯定。我们研究 $d=1$ 且 $\frac{2}{a}\in\mathbb{N}$ 的情形。此外，我们对参数给出使 $\|B_{\kappa,a}\|_{\infty}>1$ 在 $d\ge 1$ 及任意 $a$ 下成立的充分条件。我们还研究了 Schwartz 空间在 $\mathcal{F}_{\kappa,a}$ 变换下的像。特别地，我们得到 $\mathcal{F}_{\kappa,a}(\mathcal{S}(\mathbb{R}^d))=\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 仅当 $a=2$。最后，推广 Dunkl 变换，我们引入由 $\mathcal{F}_{\kappa,a}$ 生成的非形变变换并研究其主要性质。