傅里叶变换、零集与拉普拉斯算子的特征值

我们考虑量 $\kappa(\Omega)$，即区域 $\Omega$ 的特征函数的傅里叶变换的零集到原点的距离。我们首先猜想，在所有固定体积的凸平衡域 $\Omega\subset\Rbb^d$ 中，$\kappa(\Omega)$ 在球体处取得最大值；同时也猜想 $\kappa(\Omega)$ 以 $\Omega$ 的第二 Dirichlet 特征值的平方根为上界。我们在二维空间中证明了这些猜想的较弱版本，以及它们对于渐近接近圆盘的域的有效性，并进一步讨论了 $\kappa(\Omega)$ 与拉普拉斯算子特征值之间的联系。