基于严格 Faber-Krahn 型不等式的第一特征值区域变分

对于 $d\geq 2$ 且 $\frac{2d+2}{d+2} < p < \infty$,我们在极化变换下证明了有界 Lipschitz 区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$(具有混合边界条件)上 $p$-Laplace 算子的第一特征值 $\lambda _1(\Omega )$ 的一个严格 Faber-Krahn 型不等式。我们将该不等式应用于形如 $\Omega \setminus \mathscr{O}$ 的区域上的障碍问题,其中 $\mathscr{O}\subset \subset \Omega$ 为障碍。在关于 $\Omega$ 与 $\mathscr{O}$ 的某些几何假设下,我们证明了 $\lambda _1 (\Omega \setminus \mathscr{O})$ 相对于 $\mathscr{O}$ 在 $\Omega$ 中某些平移与旋转的严格单调性。