Faber-Krahn 不等式的定量 Resolvent 与特征函数稳定性

对于体积与单位球相同的有界开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$，经典的 Faber-Krahn 不等式指出，其拉普拉斯算子第一个 Dirichlet 特征值 $\lambda_1(\Omega)$ 至少为单位球 $B$ 的特征值。我们证明，Faber-Krahn 不等式中的缺失 $\lambda_1(\Omega)- \lambda_1(B)$ 对拉普拉斯在 $\Omega$ 上的 resolvent 算子 $(-\Delta_\Omega)^{-1}$ 与最近单位球 $B(x_\Omega)$ 上的 resolvent 算子之间的距离的平方起到了控制作用。该距离测量为从 $L^{\infty}$ 到 $L^2$ 的算子范数。作为主要应用，我们显示，Faber-Krahn 缺失 $\lambda_1(\Omega)- \lambda_1(B)$ 控制着第 $k$ 个特征函数在 $\Omega$ 与 $B(x_\Omega)$ 之间的 $L^2$ 范数平方对于每个 $k \in \mathbb{N}$。在这两个主要定理中，二次幂是最优的。