球相对于首 Dirichlet 和 Neumann $\infty$-特征值的均匀稳定性

在本注记中，我们分析了当施加体积约束 $\mathscr{L}^n(\Omega) = \mathscr{L}^n(\mathfrak{B}_r)$ 时，球 $\mathfrak{B}_r \subset \mathbb{R}^n$ 的扰动如何根据其首（非平凡）Neumann 和 Dirichlet $\infty-$特征值表现。我们的主要结果表明，当 $\Omega$ 的首 Neumann 和 Dirichlet 特征值接近于相同体积球 $\mathfrak{B}_r$ 的特征值时，$\Omega$ 均匀接近于一个球。事实上，我们证明，若 $$|\lambda_{1,\infty}^D(\Omega) - \lambda_{1,\infty}^D(\mathfrak{B}_r)| = \delta_1 \quad \text{and} \quad |\lambda_{1,\infty}^N(\Omega) - \lambda_{1,\infty}^N(\mathfrak{B}_r)| = \delta_2,$$ 则存在两个球使得 $$\mathfrak{B}_{\frac{r}{\delta_1 r+1}} \subset \Omega \subset \mathfrak{B}_{\frac{r+\delta_2 r}{1-\delta_2 r}}.$$ 此外，我们还获得了关于 Dirichlet $\infty-$特征函数稳定性的一个结果。