Dirichlet Laplacian 全谱的定量稳定性：由第二特征值控制

设 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 为有限测度的开集，$\Theta$ 为两个半测度不相交球的并。我们研究当 $\Omega$ 的第二特征值接近 $\Theta$ 的第二特征值时，$\Omega$ 全Dirichlet谱的稳定性。准确地说，对于任意整数 $k \ge 1$，我们提供了对差值 $|\lambda_k(\Omega)-\lambda_k(\Theta)|$ 的定量控制，该差值由第二特征值的变化 $C(d,k)(\lambda_2(\Omega)-\lambda_2(\Theta))^\alpha$ 给出，其中 $\alpha$ 为合适的指数，$C(d,k)$ 为仅依赖于空间维数和指数 $k$ 的正常数。我们能够找到一般 $k$ 和任意 $\Omega$ 的估计，其中 $\alpha =\alpha_d/(d+1)^2$，$\alpha_2 = 1/2$，且 $0<\alpha_d<1$ 在更高维中成立。若 $\lambda_k(\Omega)\ge \lambda_k(\Theta)$，则可改进不等式，得到锐利指数 $\alpha = 1/2$ 的估计。