Dirichlet 边界最优控制问题拉普拉斯方程的数值解的基于状态的方法

我们研究了拉普拉斯方程的 Dirichlet 边界控制，控制项位于 $H^{1/2}(\partial \Omega)$，这是当状态属于 $H^1(\Omega)$ 时 Dirichlet 边界数据的自然空间。控制的代价以 $H^{1/2}(\partial \Omega)$ 范数衡量，同时也起到正则化项的作用。我们讨论了正则化和有限元误差估计，从而推导出控制能量与所需状态近似精度之间的最优关系。这一关系对于设计高效求解器至关重要。我们还讨论了施加于控制和状态的额外箱约束。我们的理论发现通过数值实例得到补充，包括一个带有箱约束的实例。