二维多边形区域上 Stokes 流 Dirichlet 边界控制的分析与能量空间逼近

我们研究二维多边形区域上 Stokes 流的 Dirichlet 边界控制。我们考虑具有两种不同边界控制正则化项的代价泛函：$L^2$ 范数与一个能量空间半范数。我们证明了这两个问题的适定性与正则性结果，为两个问题发展了有限元离散化，并对后一个问题证明了有限元误差估计。研究能量空间问题的动机源于我们的分析：我们证明了即便区域是凸的，控制空间 ${\bm L}^2(\Gamma)$ 的选择也会导致具有角点间断的最优控制。我们在数值实验中观察到了这一现象。该行为在凸多边形区域上 Poisson 方程的 Dirichlet 边界控制问题中不会出现，且在真实应用中可能并不可取。对于能量空间问题，我们推导了一阶最优性条件，并表明该控制问题的解比具有 ${\bm L}^2(\Gamma)$ 正则化问题的解具有更高的正则性。我们还证明了能量范数下控制的前验误差估计，并给出了凸与非凸区域上两个控制问题的若干数值实验。