关于拉普拉斯算子狄利克雷特征值的最小化

我们研究变分问题 $$\inf \{\lambda_k(\Omega): \Omega\ \textup{open in}\ \R^m,\ |\Omega| < \infty, \ \h(\partial \Omega) \le 1 \},$$ 其中 $\lambda_k(\Omega)$ 是作用在 $L^2(\Omega)$ 上的狄利克雷拉普拉斯算子的第 $k$ 个特征值，$\h(\partial \Omega)$ 是 $\Omega$ 边界的 $(m-1)$ 维豪斯多夫测度，$|\Omega|$ 是 $\Omega$ 的勒贝格测度。如果 $m=2$，且 $k=2,3, \cdots$，则存在一个凸极小元 $\Omega_{2,k}$。如果 $m \ge 2$，且 $\Omega_{m,k}$ 是一个极小元，则 $\Omega_{m,k}^*:= \textup{int}(\overline{\Omega_{m,k}})$ 也是一个极小元，且 $\R^m\setminus \Omega_{m,k}^*$ 是连通的。得到了 $\Omega_{m,k}$ 分支数的上界。证明如果 $m\ge 3$，且 $k\le m+1$，则 $\Omega_{m,k}$ 至多有 $4$ 个分支。此外，$\Omega_{m,k}$ 在以下情形中是连通的：(i) $m\ge 2, k=2,$ (ii) $m=3,4,5,$ 且 $k=3,4,$ (iii) $m=4,5,$ 且 $k=5,$ (iv) $m=5$ 且 $k=6$。最后，对于其他约束，如勒贝格测度和扭转刚度，得到了极小元分支数的上界。