带不定权分数阶特征值问题第一特征值的最小化与 Steiner 对称性

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$, $N\geq 2$, 为一开有界连通集。我们考虑分数阶加权特征值问题 $(-\Delta)^s u =\lambda \rho u$ 于 $\Omega$ 中具齐次 Dirichlet 边界条件,其中 $(-\Delta)^s$, $s\in (0,1)$, 为分数阶拉普拉斯算子, $\lambda \in \mathbb{R}$ 且 $\rho\in L^\infty(\Omega)$。我们研究映射 $\rho\mapsto1/\lambda_1(\rho)$ 的弱*连续性、凸性与 Gâteaux 可微性,其中 $\lambda_1(\rho)$ 为第一正特征值。此外,记 $\mathcal{G}(\rho_0)$ 为 $\rho_0$ 的重排类,我们证明当 $\rho$ 在 $\mathcal{G}(\rho_0)$ 上变化时 $\lambda_1(\rho)$ 极小元的存在性。最后,我们证明若 $\Omega$ 为 Steiner 对称,则每个极小元具有相同对称性。