分数阶 $p-$Laplacian 的第二特征值

我们考虑开有界集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$（可能不连通）上齐次 Dirichlet 边界条件下{\it 分数阶 $p-$Laplacian}的特征值问题。在讨论了特征函数的一些正则性问题后，我们证明了第二特征值 $\lambda_2(\Omega)$ 是良定义的，并通过几种等价的变分公式对其进行了刻画。特别地，我们将 Cuesta、De Figueiredo 和 Gossez 的山路引理刻画推广到了非局部和非线性情形。最后，我们考虑了极小化问题 $$\inf \{\lambda_2(\Omega)\,:\,|\Omega|=c\}.$$ 我们证明，与局部情形不同，即使在允许不连通集合的情况下，最优形状也不存在。一个极小化序列由两个体积为 $c/2$ 的不相交球的并集给出，且它们之间的距离趋于无穷大。