尖锐定量Faber-Krahn不等式与Alt-Caffarelli-Friedman单调性公式

本文的目标有两个。首先，我们建立了单连通空间形式上Faber-Krahn不等式的新的尖锐定量估计。我们证明给定集合$\Omega$的第一特征值与球的第一特征值之间的间隙定量控制该集合与球的$L^1$距离{\,\it 以及\,}对应特征函数之间的$L^2$距离：$$\lambda_1(\Omega) - \lambda_1(B) \gtrsim |\Omega \Delta B|^2 + \int |u_{\Omega} - u_B|^2,$$其中$B$表示与$\Omega$最近的测地球，满足$|B|=|\Omega|$，$u_\Omega$表示适当归一化的第一特征函数。在欧氏空间上，这推广了Brasco-De Phillipis-Velichkov的结果；特征函数控制主要基于我们姊妹论文中临界扰动Alt-Cafarelli型泛函极小元的新正则性结果。在球面与双曲空间上，本文结果是关于任意距离的首个尖锐定量结果；此处分析的局部部分基于新的隐式谱分析技术。其次，我们应用这些尖锐定量Faber-Krahn不等式以建立Alt-Caffarelli-Friedman（ACF）单调性公式的定量形式。我们表明，ACF单调性公式从一个尺度到下一尺度的能量下降控制了一对容许函数与一对互补半平面解的接近程度。特别地，当所有尺度上能量下降平方根之和较小时，我们的结果意味着这些函数的切（唯一blowup）的存在。