短时傅里叶变换的 Faber-Krahn 不等式

本文解决一个公开问题：刻画那些可测集 $\Omega\subset \mathbb{R}^{2d}$，其在所有具有给定 Lebesgue 测度的集合中，能在时频空间中捕获最大可能能量份额；其中泛型函数 $f\in L^2(\mathbb{R}^d)$ 的能量密度由其短时傅里叶变换（STFT）$\mathcal{V} f(x,\omega)$（采用高斯窗）定义。更确切地说，给定测度为 $s>0$ 的可测集 $\Omega\subset\mathbb{R}^{2d}$，我们证明量 $$\Phi_\Omega=\max\Big\{\int_\Omega|\mathcal{V} f(x,\omega)|^2\,dxd\omega: f\in L^2(\mathbb{R}^d),\ \|f\|_{L^2}=1\Big\},$$ 取得最大值当且仅当 $\Omega$ 模零测集等价于一个测度为 $s$ 的球，且此时我们刻画了所有取等号的函数 $f$。该结果导出了 STFT “本质支撑”的尖锐不确定性原理（当 $d=1$ 时，可概括为最优界 $\Phi_\Omega\leq 1-e^{-|\Omega|}$，等号成立当且仅当 $\Omega$ 为球）。我们的方法在 Fock 空间中将问题适当重述后运用测度论技术，还导出了 $p\in [2,\infty)$ 时 STFT 的 Lieb 不确定性不等式的局部版本，以及 $p\in [1,\infty)$ 时的 $L^p$-集中估计，从而证明了一个相关猜想。在所有情形下，我们都辨识出了相应的极值函数。