双曲球中对数次调和函数的 Faber-Krahn 型不等式

假设 $\Delta_h$ 是单位球 $\mathbb{B}$ 中的双曲 Laplacian，并假设 $\Phi_n$ 是 Poisson 方程 $\Delta_h \log \Phi_n =-4 (n-1)^2$ 的唯一径向解，满足条件 $\Phi_n(0)=1$ 且对于 $\zeta\in \partial\mathbb{B}$ 有 $\Phi_n(\zeta)=0$。我们显式地求解了在所有 $f \in\mathbf{B}^2_\alpha$ 和 $\Omega \subset \mathbb{B}$ 且 $\tau(\Omega) = s$ 上最大化 $$R_n(f,\Omega)= \frac{\int_\Omega |f(x)|^2 \Phi_n^\alpha(|x|) \, d\tau(x)}{\|f\|^2_{\mathbf{B}^2_\alpha}},$$ 的问题，其中 $d\tau$ 表示 $\mathbb{B}$ 上的不变测度，且 $\|f\|_{{B}^2_\alpha}^2 = \int_\mathbb{B} |f(x)|^2 \Phi_n^\alpha(|x|) d\tau(x) < \infty$。此结果将 Tilli 与第二作者 \cite{ramostilli} 的主要结果推广到了更高维的情境。我们的证明依赖于二维情形中所用技巧的一个版本，但由于权重 $\Phi_n$ 是通过超几何函数定义的，出现了若干额外的技术困难。此外，我们表明，对数次调和函数的集中结果与小波变换的集中结果之间的直接关系仅在维数为一时才成立。