Fock 空间上微分算子的压缩性质

在最近的文章中，\cite{tilli} Nicola 与 Tilli 证明了 Faber-Krahn 不等式，对于 $p=2$，其表述如下。若 $f\in\mathcal{F}_\alpha^2$ 是来自相应 Fock 空间的整函数，则 $$\frac{1}{\pi}\int_{\Omega} |f(z)|^2 e^{-\pi |z|^2} dx dy \le (1-e^{-|\Omega|}) \|f\|^2_{2,\pi}.$$ 此处 $\Omega$ 为复平面中的域，且 $|\Omega|$ 为其勒贝格测度。该不等式是尖锐的且可取到等号。我们证明如下尖锐不等式 $$\int_{\Omega} \frac{|f^{(n)}(z)|^2e^{-\pi |z|^2}}{\pi^n n ! L_n(-\pi |z|^2)}dxdy \le (1-e^{-(n+1)|\Omega|})\|f\|^2_{2,\pi},$$ 其中 $L_n$ 为 Laguerre 多项式，且 $n\in\{0,1,2,3,4\}$。当 $n=0$ 时其与 Nicola 和 Tilli 的结果一致。