Fock 空间上卷积型奇异积分算子的有界性判据

我们证明，对于复欧几里得空间 $\mathbb{C}^n$ 上 Fock 空间 ${\mathscr F}^2(\mathbb{C}^n)$ 中的整函数 $\varphi$，积分算子 \begin{eqnarray*} S_{\varphi}F(z)=\int_{\mathbb{C}^n} F(w) e^{z \cdot\bar{w}} \varphi(z- \bar{w})\,d\lambda(w), \ \ \ \ \ z\in \mathbb{C}^n, \end{eqnarray*} 在 ${\mathscr F}^2(\mathbb{C}^n)$ 上有界当且仅当存在函数 $m\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 使得 $$\varphi(z)=\int_{\mathbb{R}^n} m(x)e^{-2\left(x-\frac{i}{2} z \right)\cdot \left(x-\frac{i}{2} z \right)} dx, \ \ \ \ \ \ z\in \mathbb{C}^n.$$ 这里 $d\lambda(w)= \pi^{-n}e^{-\left\vert w\right\vert^2}dw$ 是 $\mathbb C^n$ 上的高斯测度。利用此刻画，我们能够获得一些基本结果，包括此算子 $S_\varphi$ 的正规性、代数性质、谱与紧性。此外，我们获得了 $S_{\varphi}$ 的约化子空间。特别地，在 $n=1$ 的情形下，我们给出了 K. Zhu 对复平面 ${\mathbb C}$ 上 Fock 空间 ${\mathscr F}^2(\mathbb{C})$ 提出的一个开问题的完整解答 (Integr. Equ. Oper. Theory {\bf 81} (2015), 451--454)。