分数阶 Adams-Moser-Trudinger 型不等式

在若干工作基础上，我们证明了对于任意具有有限测度的域 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$，将 Bessel 势空间 $\tilde H^{\frac{n}{p},p}(\Omega)$ 嵌入 Orlicz 空间的一般 Adams-Moser-Trudinger 型不等式。特别地，我们证明 $$\sup_{u\in \tilde H^{\frac{n}{p},p}(\Omega), \;\|(-\Delta)^{\frac{n}{2p}}u\|_{L^{p}(\Omega)}\leq 1}\int_{\Omega}e^{\alpha_{n,p} |u|^\frac{p}{p-1}}dx \leq c_{n,p}|\Omega|,$$ 其中正常数 $\alpha_{n,p}$ 的最优性我们也给予了证明。我们进一步将结果推广到 Lorentz 空间的情形（即 $(-\Delta)^\frac{n}{2p}u\in L^{(p,q)}$）。证明是简单的，因为它们使用了分数阶 Laplace 算子的 Green 函数以及适当的截断过程，将分数阶结果归约为 Adams 证明的 Riesz 势上的精确估计及其由 Xiao 和 Zhai 证明的推广。我们还讨论了在指定 $Q$-曲率问题中的应用以及一些开放问题。