$\mathbb{R}^2$中带密度的等周问题与 Hardy-Sobolev 不等式

我们利用复分析的初等方法证明了等周不等式的以下推广：若 $p\in\re$，$\Omega\subset\re^2$，则在关于 $\Omega$ 和 $p$ 的适当假设下，不等式 $$\left(\frac{|\Omega|}{\pi}\right)^{\frac{p+1}{2}}\leq\frac{1}{2\pi}\int_{\delomega}|x|^pd\sigma(x)$$ 成立。这解决了带密度等周问题背景下出现的一个开放问题，并提出了一些新问题（例如推广到 $\re^n$）。我们证明了其与 Hardy-Sobolev 不等式的等价性，给出了最佳常数，从而推广了经典等周不等式与 Sobolev 不等式之间的等价关系。此外，该不等式为另一个问题的解决铺平了道路：将 Flucher 的调和移植方法推广到奇异 Moser-Trudinger 嵌入。