蕴含与压缩算子相似性的算子不等式

设 $T$ 是 Hilbert 空间 $H$ 上的有界线性算子，使得 $$\alpha[T^*,T]:=\sum_{n=0}^\infty \alpha_n T^{*n}T^n\ge 0.$$ 其中 $\alpha(t)=\sum_{n=0}^\infty \alpha_n t^n$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 中具有实系数的适当解析函数。我们证明如果 $\alpha(t) = (1-t) \tilde{\alpha} (t)$，其中 $\tilde{\alpha}$ 在 $[0,1]$ 中无根，则 $T$ 相似于一个压缩算子。此类算子已被 Agler、Müller、Olofsson、Pott 等人研究过，然而我们处理的是他们的技术不适用的情况。我们写下了该类算子的显式 Nagy-Foias 型模型，并讨论其通常推论（特征函数的完备性、与正规算子的相似性等等）。我们还表明，一般地，$\|T^nh\|$ 当 $n\to\infty$ 时的极限（$h\in H$）不存在，但在对 $\alpha$ 施加额外假设时存在。我们的方法基于某些加权 $\ell^1$ Banach 代数的一个因式分解引理。